摘要

在外加电场作用下，油中悬浮液滴会发生剧烈的极化变形。传统网格方法在捕捉液滴界面的局部细节上存在局限，而无网格粒子方法则展现出独特优势。本研究建立了一种光滑粒子流体动力学（SPH）与有限容积法（FVM）的耦合模型。该模型利用FVM求解节点电场力并传递给SPH粒子，再由SPH方法计算受力并更新粒子位置，通过电场与流场的耦合提高了界面捕捉和数值模拟的精度。数值结果与已发表的实验数据进行了比较验证。在此基础上，研究了矩形波电场下液滴的聚并行为，揭示了液滴聚并过程中的界面演变及界面张力的变化规律。研究表明，在矩形波电场下，两液滴以振荡形式不断靠近；界面张力在液滴靠近过程中起阻碍作用，而在融合过程中起促进作用。

1. 引言

电场引发的流体运动，即电流体动力学（EHD），广泛应用于喷墨打印、电喷雾、静电纺丝和微流控技术等领域。其中，电场下的液滴-液滴聚并行为是一种典型的物理现象，具有重要的研究意义。油中液滴的聚并过程包含复杂的界面融合现象，理论分析困难，因此实验和数值模拟成为主要的研究手段。

实验研究方面，Berg等人发现直流电场下两液滴的聚并速率与低电场强度成正比，与高电场强度的平方成正比。龚翔的研究则表明，电场强度越高、液滴粒径越大，液滴间的相对运动速度越快，聚并时间越短。

数值模拟方面，目前已发展了多种方法，包括边界积分法、流体体积法（VOF）、水平集法和相场法等。Roy等人采用边界积分法揭示了电场作用下两液滴接触后反弹的物理机制：当电场强度过高时，液滴界面的麦克斯韦应力拉动液滴，促使液桥压力升高，流体从液桥流向液滴内部，导致液滴反弹。Huang等人通过耦合水平集和流体体积法捕获液滴界面，研究了直流电场下黏性介质中两液滴的聚并行为，发现液桥的生长受界面张力和连续相黏度的控制。任瑞娟基于相场方法模拟了交流电场下两液滴的聚并行为，发现增大电场强度、减小两液滴夹角、界面张力和连续相黏度，有利于缩短聚并总时间。

尽管可选方法众多，但各有优劣。基于网格的方法中，VOF方法通过求解体积分数输运函数重建相界面，能精准捕捉界面细节，但难以准确计算与相界面曲率相关的物理量。水平集方法使用连续函数描述相界面，能准确处理连续性，但在界面重构方面存在局限性，可能导致界面模糊。Marker-and-Cell方法（MAC）通过标记点捕获连续相界面，但当界面变形时，点分布不均，需耗费时间重新布置。可见，网格法操作复杂且易出现数值不稳定问题。

相比之下，SPH-FVM耦合法可以有效避免上述问题。它兼有无网格法和有限容积法的优点：SPH能精准捕捉液滴界面，FVM则提供更好的界面重建，有助于准确模拟液滴聚并。该耦合模型在处理自由流体问题时具有良好的适应性，计算精度高，操作也更便捷。然而，SPH作为一种典型的无网格方法，在施加边界条件方面存在缺陷。为充分发挥SPH和网格方法各自的优势，既能精准捕获液滴聚并的界面细节，又能保证计算的稳定性和精度，本研究采用SPH和FVM耦合的方法，模拟矩形波电场下液滴-液滴的聚并行为，重点分析其界面演变、流场和界面张力分布规律。

2. 理论与数值模型

2.1 控制方程

本研究采用拉格朗日形式的纳维-斯托克斯方程作为两相流的控制方程。表面张力 F^s 根据连续表面力（CSF）模型计算。

控制方程包括连续性方程和动量方程：

其中， c  为人工声速，为确保密度变化率在1%以内，人工声速至少是流场最大速度的10倍（ c \geqslant 10 u_{\max} ）； \rho_0  为流体的初始密度。

2.2 数值方法

本研究通过Matlab自编程实现了SPH-FVM耦合方法，其计算流程如下：

1.  计算域初始化与FV网格生成：首先将整个计算域离散为SPH粒子，然后根据粒子位置生成结构化FV网格。FV网格内部节点与SPH粒子的位置相同。模拟过程中，SPH粒子位置不断变化，而FV网格固定不动。初始时刻，流体的物理属性赋予SPH粒子，FV网格不具有任何物理属性。

2.  介电常数传递：将SPH粒子的介电常数传递给FV网格。网格节点 \( f_{(i,j)} \) 的介电常数通过其支持域内的SPH粒子，以Shepard插值方式获得。由于两相界面的介电常数不连续，此传递过程能使界面网格节点的介电常数从一相平滑过渡到另一相，便于后续计算。

3.  FVM计算电场力：利用FVM求解电场控制方程。求解时需要施加Dirichlet（ \Phi  为常数）和Neumann（ \nabla \Phi \cdot \hat{n} = 0 ）边界条件。FVM的边界条件相比SPH方法更简单、准确，因此被用于求解电场。离散后的电场控制方程采用双共轭梯度法迭代求解，获得电势分布。随后，根据  E = -\nabla \Phi ，用中心差分法求解电场分布。最后，利用  F^e = -\frac{1}{2} E \cdot E \nabla \varepsilon  求解界面网格节点的电场力。

4.  电场力传递：将界面网格节点的电场力传递给SPH粒子。当两相介电常数相差很大时，电场力沿界面急剧变化。若直接使用Shepard插值，其平滑作用会导致电场力梯度变缓，难以保证SPH粒子获得准确的电场力分布。为此，本研究提出粒子分裂插值方法。该方法先将粒子i分裂为100个均匀分布的子粒子，单个子粒子的体积是原粒子的1/100。然后，根据子粒子所在网格位置，将该网格节点的电场力赋予子粒子。最后，通过核函数插值，将子粒子的电场力加权平均回原SPH粒子。

5.  SPH更新粒子状态：使用SPH方法计算压力梯度力、黏性力和界面张力，然后更新粒子的速度和位置信息。粒子i的黏性力  F_i^v  计算公式为：

为解决边界附近粒子支持域被截断的问题，采用镜像粒子法。此外，为防止粒子沿流线运动导致的非均匀分布，引入改进的粒子位移修正算法，以确保相界面清晰稳定。时间积分采用修正的预测校正积分法，时间步长满足CFL条件。