二、数学模型

2.1 基本假设

在本文的开断电流条件下，长弧磨损远大于起弧过程中的桥磨损和短弧磨损。为了得到熔池内部金属液滴喷溅速度及方向、温度分布和熔蚀形貌的演化过程，本文做出以下基本假设：

第一，忽略非平衡态的起弧过程及电子、离子自由程导致的微观能量传递，仅考虑高温电弧形成后，电弧在触头表面宏观传热产生的熔化相变，形成的熔池及烧蚀。

第二，由于熔池尺寸小、流速较低、熔融金属黏度低，将液态金属视为牛顿流体，流体流动假定为不可压缩层流。

第三，由于金属蒸汽的温度极高、密度较低，分子间作用力远小于分子热运动的动能，在不影响计算结果准确度的前提下提高模型的收敛性，将金属蒸气视为理想气体，并对入射电弧透明。

第四，本文研究的熔蚀过程电弧已稳定燃烧，在保障熔池内部流场准确度的前提下，简化模型，提高数值准确度和计算效率，因此忽略了电弧形成初期等离子体多次反射的影响。

2.2 控制方程

电弧开断过程中，产生的高温等离子体向触头传递能量，引起触头表面温度升高。在空气环境下，触头表面发生氧化、熔化、汽化和熔体喷溅等多种物理或化学变化过程。电弧作用于触头表面的数值模拟基于连续性方程、动量守恒方程、能量守恒方程和水平集方程的一般形式。

连续性方程为：

∇·u = 0

动量守恒方程（Navier-Stokes方程）为：

ρ∂u/∂t + ρ(u·∇)u = ∇·(-pI + μ(∇u + (∇u)T)) + ρg + Ku

能量守恒方程为：

ρCp(∂T/∂t + (u·∇T)) = ∇·k∇T + δ(qin - qout)

水平集方程为：

∂φ/∂t + u·∇φ + γ∇·(φ(1-φ)∇φ/∇φ - ε∇φ) = 0

其中，u为流体速度，μ为动力学黏度，ρ为密度，Cp为比热容，k为热传导系数，T为温度，p为压强，I为单位矩阵，φ为水平集函数，g为重力加速度的矢量，K为各向同性渗透率，ε表示边界层厚度，qin和qout分别是热源和热损失。

2.3 表面氧化动力学

2.3.1 固相氧化

目前市面上的断路器大多采用铜基材料或铜合金为基础，既兼顾了导电性又保证了抗熔焊性和稳定性，其中触头材料中铜占比最大。铜暴露在空气中并在电弧的作用下，表面会发生氧化现象，形成的氧化物主要有氧化铜和氧化亚铜。根据已有研究，铜在低于800°C时的氧化物为氧化亚铜，高于800°C时的氧化物为氧化铜。随着温度的升高，氧质量迅速流入受热区，由于径向温度分布不均匀，导致氧化物厚度增加也不均匀。

在电弧的作用下，铜触头的氧化反应可以写成：

4Cu + O2 = 2Cu2O

铜在空气中的高温氧化动力学表达式为：

ΔM1 = √(kp·t)

其中，ΔM1为单位面积上氧化层的质量增加量（kg/m²），氧化速率kp可以用阿伦尼乌斯方程描述：

kp = A0·e^(Q/RT)

式中，Q = 1.5×10⁵ J/mol为氧反应的活化能，R = 8.314 J/(mol·K)为气体常数，氧化速率kp为温度的函数。

2.3.2 液相氧化

当触头温度升高达到触头的熔点后，氧溶解在熔融金属中。高温时铜的氧化产物主要是氧化铜，因此空气中的氧和液态铜之间的化学反应可表示为：

2Cu + O2 = 2CuO(l)

其中(l)表示液态。由于触头的熔蚀时间远远大于溶解达到平衡状态的时间，所以氧气的溶解一直处于平衡状态。在接近平衡状态下，熔融液中的氧浓度等于氧的溶解度。在铜和氧的液体中，氧溶解度可以写成温度的函数：

X0 = e^(-14550/T + 2.94)

液态铜中氧的扩散可视为半无限介质中的单向扩散，则氧化过程中熔蚀区域单位面积的质量增益ΔM2为：

ΔM2 = 2(ξX0ρ1 - c0)/√π · √(Dt)

式中，ξ = 6.9×10⁻³为平衡氧浓度的修正因子，ρ1 = 7.785 g/cm³为液态铜密度，c0为初始氧浓度，D = 1×10⁻⁹ m²/s表示氧在液态铜溶液中的扩散系数。

2.4 相变处理

在电弧作用触头期间，触头经历了熔化和汽化的相变。为了处理相变产生的潜热，本文采用等效比热容法进行处理：

Cp = CpSS + Lm·Dm + Lv·Dv

其中，Dm = e^(-(T-Tm)²/ΔTm²)/(ΔTm√π)

Dv = e^(-(T-Tb)²/ΔTb²)/(ΔTb√π)

式中，CpSS为材料比热容，Lm为熔融潜热，Lv为汽化潜热，Tm和Tb分别为材料熔点和气化点，ΔTm和ΔTb分别为融化温度过渡区和蒸发温度过渡区。

固相与液相之间的糊状区域通常采用Kozeny-Carman方程处理。液体体积分数fl定义为：

当T < Tm - ΔT时，fl = 0；

当Tm - ΔT < T < Tm + ΔT时，fl = (T - Tm - ΔT)/(2ΔT)；

当T > Tm + ΔT时，fl = 1。

动量方程中的达西阻尼力的各向同性渗透率K取决于fl，表达式为：

K = -(1-fl)²/(fl³ + b)

其中b为避免被零除的小数。

随着电弧能量的增大，触头表面温度逐渐提高，先后超过熔点Tm和沸点Tb。铜的熔点和沸点分别为1356 K和2835 K。当T < Tm时，固态铜进行氧化，受热区有氧质量流入；当Tm < T < Tb时，氧质量流以相对于固相更高的速度进入液态铜；当T > Tb时，蒸发导致质量减少。因此需要对质量的连续性方程增加三个源项，修改为：

∇·u = s1 + s2 + s3

三个源项依次对应以上三个温度范围的传质：

s1 = J1·(1/ρi)·δn = d(ΔM1)/dt · (1/ρi)·δn

s2 = J2·(1/ρi)·δn = d(ΔM2)/dt · (1/ρi)·δn

s3 = J3·(1/ρv - 1/ρi)·δn

其中J1、J2、J3分别为固相氧化质量通量、液相氧化质量通量和蒸发除去率，ρi和ρv分别为金属密度和金属蒸气密度，n为从触头指向空气界面的法向量，δ定义为水平集法中的界面函数。将金属蒸气视为理想气体，满足ρv = p·Mss·NA/(R·T)，其中Mss为铜的原子质量，NA为阿伏伽德罗常数。

δ的表达式为：

δ = 6∇φ · (1-φ)φ

J3可以由修正的Langmuir方程估算：

J3 = (1-βR)·ps·√(Mss/(2πkB·T))

式中βR为逆向扩散系数，kB为玻耳兹曼常数，ps为汽化面饱和压强，可由克劳修斯-克拉伯龙关系求得，其中p0 = 101325 Pa：

ps = p0·exp((Lv·Mss/kB·T)·(T/Tb - 1))

2.5 修正的水平集方程

在电弧侵蚀触头的多物理场耦合过程中，灭弧介质与熔融金属表面的相互作用显著影响着熔池演化行为。为了更准确地追踪移动表面，研究者多采用水平集方法构建电弧等离子体与熔池喷溅的相界面追踪模型。相较于传统自由界面追踪方法，该方法能够捕捉电弧熔蚀中氧质量流流入对界面运动的贡献，并考虑氧溶解度引发的熔体表面张力变化。

为表述上述氧化和蒸发过程中传质引起的表面移动，需增加三个源项。修改后的水平集方程和三个源项如下：

∂φ/∂t + u·∇φ + γ∇·(φ(1-φ)∇φ/∇φ

- ε∇φ) = -ψ1 - ψ2 + ψ3

其中：

ψ1 = J1·δ·(φ/ρi + (1-φ)/ρa)

ψ2 = J2·δ·(φ/ρi + (1-φ)/ρa)

ψ3 = J3·δ·(φ/ρi + (1-φ)/ρv)

式中ρa为空气密度，ψ1、ψ2、ψ3分别表示固相氧化引起表面位移源项、液相氧化引起的表面位移源项和蒸发引起的表面位移源项。

在计算区域中，定义一个标量函数来追踪气液交界面的运动：气体取值为1，液体（包括固体、固液混合糊状区、液相区）取值为0，气液交界面取值为0.5，φ从0到1平滑过渡。通过求解改进水平集φ的传递方程来追踪气-液间的运动平面，并通过水平集方程与动量、能量守恒方程和连续性方程之间的相互耦合来计算液滴质量迁移所带走的触头表面的动能和热能。

2.6 边界条件和初始值

2.6.1 热边界条件

对于自由表面，需要考虑对流、辐射和蒸发引起的热损失。热边界条件为：

k∇T = qin - qout = Garc - [h(T-T0) + ωkB(T⁴-T0⁴) + Lv·Vv·ρ1]

其中蒸发速率Vv为汽化阵面的后退速度，可以由描述液体表面蒸发物质流的赫兹-努德森方程得到；h为传热系数；ω为表面辐射；Garc为弧根处热源。

作用在触头表面的热通量可以从耦合模型中提取。在触头边缘处，电弧能量经过传导、对流、辐射等方式会耗散一部分能量，因此热流幅值随电弧运动和热耗散而减小。本文取停滞时间内的累积热通量作为熔池模型的能量注入，服从高斯分布的熔池等效热源为：

Garc = qmax(t)·exp(-2x²/ry²)

式中qmax(t)为停滞期间的热通量，x为熔池位置，ry为弧根半径，本文取0.06 mm。

将初始温度T0 = 300 K、k∇T = 0应用于其他边界。该边界条件方程乘以δ函数视为热源项加到能量守恒方程的原始形式中，得到修正后的能量方程。

2.6.2 流体动力学边界条件

在熔蚀的表面，驱动力的法向分量由表面张力和反冲压力组成，在切向上考虑金属蒸汽流动引起的马兰戈尼效应和剪切应力。流体动力边界条件F可以表示为：

F = σκn - Precoil·n + (∂σ/∂T)·(∂T/∂x)·τ + τw·τ

式中σ为表面张力系数，κ为曲率，蒸汽反冲压力Precoil = 0.59Ps，n和τ分别为法向和切向的单位矢量。

表面张力受到温度和氧气的共同影响。氧气是空气中占比第二大的气体，因此在本文模型中，需要同时考虑温度和氧浓度对液态铜表面张力的影响。上式等号右侧第三项表示由熔蚀表面张力梯度驱动的马兰戈尼效应。

在铜氧体系中，表面张力系数是温度T和氧活度ai的函数，其形式为：

σ = σ0 - A(T-Tm) - RTΓs·ln[1 + k0(ai×100)·e^(-ΔH°/RT)]

式中ai可由ξX0表示，Γs = 1.1×10⁻⁵ mol/m²为饱和状态下的表面过剩浓度。

当T ≥ Tb时，由熔池表面形成的火山口内侧的金属蒸气流引起的剪切应力τw可写为：

τw = 8ρv·uv²/Re

式中uv为金属蒸气沿着熔坑壁面的分量速度，Re是与熔坑形貌相关的雷诺数。

这三种力都应乘以δ函数，作为一般形式的力应用到动量守恒方程的一般形式中。修正后的动量守恒方程可以表示为：

ρ∂u/∂t + ρ(u·∇)u = ∇·(-pI + μ(∇u + (∇u)T)) + ρg + Ku + δF